9.6 海森堡不确定性原理

来源： 考纲 §9

粒子的位置与动量无法同时任意精确确定——这不是测量误差，而是自然的基本原理：

$$\boxed{{\displaystyle \mathrm{\Delta }x\cdot \mathrm{\Delta }p\ge \frac{\hslash }{2}}},\hslash =\frac{h}{2\pi }$$

符号	含义
$\mathrm{\Delta }x$	位置不确定度（位置定得多准）
$\mathrm{\Delta }p$	动量不确定度，$\mathrm{\Delta }p=m\cdot \mathrm{\Delta }v$
$\hslash$	约化普朗克常数 $={\displaystyle \frac{h}{2\pi }}\approx 1,05\cdot {10}^{-34}$ Js

这个不确定性究竟从何而来？——波包

不确定性是波粒二象性（量子客体随实验不同既可表现出波动性、也可表现出粒子性，两种图像同属一个客体）的直接后果。要理解它，须想清楚如何把一个粒子作为波「放到一个位置」：

1. 一列单纯的正弦波有一个精确定义的波长 $\lambda$。经德布罗意关系（每个粒子都对应一列物质波，其波长 $\lambda$ 与动量 $p$ 通过 $p=h/\lambda$ 相关联） $p={\displaystyle \frac{h}{\lambda }}$，这意味着动量完全确定（$\mathrm{\Delta }p\to 0$）。
2. 但单纯正弦波在空间中处处一样地延展——它没有位置（$\mathrm{\Delta }x\to \mathrm{\infty }$）。这样的「粒子」会弥散到整个空间。
3. 要定位粒子（把它放到某处），就得把许多不同波长的正弦波叠加。靠干涉，它们在各处相互抵消、只在一个小区域留下——形成一个波包（局域化的「波团」）。
4. 波包要越窄（$\mathrm{\Delta }x$ 越小），就得混入越多种不同波长 → 所含动量的弥散就越大（$\mathrm{\Delta }p$ 越大）。
5. 反之：想要动量尖锐（只一种波长，$\mathrm{\Delta }p$ 小），波包就变宽（$\mathrm{\Delta }x$ 大）。

所以位置上的局域化与动量上的尖锐是此消彼长的——无法同时让两者都小。这不是仪器的缺陷，而是源于物质本身的波动本性。

因子 $\hslash /2$ 的含义

乘积 $\mathrm{\Delta }x\cdot \mathrm{\Delta }p$ 永远不可能小于 $\hslash /2$——这是自然的硬下限。因 $\hslash$ 极小（$\sim {10}^{-34}$ Js），这条下限在日常中无关紧要（台球可任意精确地定位与测量），但在原子和电子层面变得决定性。等号（$=\hslash /2$）只有理想波包（高斯型）才达到；任何真实波包都在其之上（$>$）。

能量-时间形式

能量与时间同理：

$$\mathrm{\Delta }E\cdot \mathrm{\Delta }t\ge \frac{\hslash }{2}$$

$\mathrm{\Delta }E\dots$ 能量不确定度；$\mathrm{\Delta }t\dots$ 某状态存在的时间跨度。✎ 含义：一个寿命极短的状态（$\mathrm{\Delta }t$ 小）有大的能量不确定度 $\mathrm{\Delta }E$——能量可在短时间内被「借用」。这正是允许各基本力出现虚传递粒子的原因（见主题 10，弱力）。